Como reconhecer uma relação de proporcionalidade direta

Resposta direta

Duas grandezas têm proporcionalidade direta quando multiplicar uma delas por um fator faz a outra ser multiplicada pelo mesmo fator. Em uma tabela, a razão entre os valores correspondentes permanece constante e o par zero, zero faz sentido.

Uma grandeza é algo que pode variar, como quantidade de cadernos e preço total. Uma razão constante indica quantas unidades da segunda grandeza correspondem a uma unidade da primeira.

Se precisar revisar como encontrar um valor que completa uma relação, consulte como descobrir o termo desconhecido.

Entenda passo a passo

A regra multiplicativa

Imagine um pacote com três cartões. Cada pacote tem sempre a mesma quantidade. Dois pacotes têm seis cartões, pois 2 × 3 = 6. Quatro pacotes têm doze cartões, pois 4 × 3 = 12. Sete pacotes têm vinte e um cartões, pois 7 × 3 = 21.

A regra é:

quantidade de cartões = quantidade de pacotes × 3

A figura mostra alguns pares. O texto informa a relação geral: multiplique a quantidade de pacotes por três.

Tabela e teste do zero

Há duas verificações úteis.

Razão constante. Divida cartões por pacotes em uma coluna que não tenha zero: 6 ÷ 2 = 3, 12 ÷ 4 = 3 e 21 ÷ 7 = 3. O mesmo fator aparece.

Teste do zero. Zero pacotes correspondem a zero cartões: 0 × 3 = 0. Por isso, o par zero, zero pertence à relação. Esse teste elimina muitas relações que parecem proporcionais, mas têm um valor inicial fixo.

Casos e contrastes

Caso 1 — dobrar as duas grandezas. Três caixas guardam seis bolas, pois 3 × 2 = 6. Se a quantidade de caixas dobra para seis, a quantidade de bolas também dobra para doze: 6 × 2 = 12. A relação pode ser diretamente proporcional.

Caso 2 — mesmo fator em pares diferentes. Cinco grupos têm vinte objetos, pois 5 × 4 = 20. Dez grupos têm quarenta objetos, pois 10 × 4 = 40. O fator quatro permanece.

Caso 3 — aumento igual não basta. Considere os pares (0, 5), (2, 7) e (4, 9). A segunda grandeza sempre é a primeira mais cinco: 0 + 5 = 5, 2 + 5 = 7 e 4 + 5 = 9. Essa é uma relação regular, mas não é proporcional direta. Quando a primeira grandeza é zero, a segunda ainda vale cinco.

Caso 4 — tabela incompleta. Se dois ingressos de uma brincadeira escolar custam oito reais no exemplo e o preço por ingresso é fixo, cada ingresso custa quatro reais, pois 8 ÷ 2 = 4. Cinco ingressos custam vinte reais, pois 5 × 4 = 20. A conferência é 20 ÷ 5 = 4.

Exemplo

Observe a tabela dos pacotes e cartões. Não compare somente as diferenças. De dois para quatro pacotes, acrescentamos dois pacotes; de seis para doze cartões, acrescentamos seis cartões. As diferenças não são iguais, mas o fator é coerente.

Agora multiplique a primeira coluna por dois. Dois pacotes viram quatro. Se a relação é proporcional, seis cartões precisam virar doze. Isso acontece. Se multiplicarmos dois pacotes por outro fator que produz sete pacotes, o total correspondente também segue a mesma regra de três cartões por pacote.

A expressão “direta” não significa apenas que as duas grandezas aumentam. Significa que elas mudam pelo mesmo fator.

Erro comum

• Procurar somente aumentos iguais. Proporcionalidade direta depende de fatores iguais, não de diferenças iguais.
• Usar uma única coluna. Um par isolado não mostra se a regra permanece.
• Ignorar o zero. Um valor inicial fixo pode quebrar a proporcionalidade.
• Dividir em ordens diferentes. Escolha sempre a mesma ordem para comparar as razões.
• Concluir porque as duas grandezas crescem. Crescer junto não garante um fator constante.

Guia de decisão

Como estudar este tema

Use tabelas pequenas. Marque as colunas correspondentes. Faça o teste do fator e o teste do zero. Explique também a unidade do fator, como “três cartões por pacote”.

Exercícios com respostas explicadas