Como representar sistemas e variações no plano cartesiano

Resposta direta

Uma equação com duas variáveis pode ser representada por pontos de uma reta. Um sistema reúne duas equações, e sua solução é o par que satisfaz as duas. No gráfico, esse par aparece no ponto de encontro das retas.

A variação descreve como uma grandeza muda quando outra muda. Uma tabela registra pares, uma equação resume a regra e um gráfico mostra a forma da relação.

Revise equação do primeiro grau e plano cartesiano no primeiro quadrante antes de estudar o encontro entre retas.

Entenda passo a passo

Da regra aos pontos

Considere y = x + 2. Escolha valores de x e calcule y:

As verificações são 0 + 2 = 2, 1 + 2 = 3, 2 + 2 = 4 e 3 + 2 = 5. Cada coluna forma um ponto: (0, 2), (1, 3), (2, 4) e (3, 5). Como a regra é de primeiro grau, esses pontos ficam alinhados.

Solução de um sistema

Estude o sistema:

x + y = 10

y = x + 2

Substitua a segunda regra na primeira: x + (x + 2) = 10. Isso produz 2x + 2 = 10, então x = 4. Use y = x + 2: 4 + 2 = 6. O par é (4, 6).

Confira nas duas equações: 4 + 6 = 10 e 6 - 4 = 2. O mesmo par satisfaz as duas condições.

A imagem mostra o encontro. O cálculo e a conferência em texto determinam o par mesmo sem o gráfico.

Tipos de variação

Variação com taxa constante e valor inicial. Em y = 2x + 1, cada aumento de uma unidade em x aumenta y em duas unidades. A tabela contém os valores um, três, cinco e sete, pois 2 × 0 + 1 = 1, 2 × 1 + 1 = 3, 2 × 2 + 1 = 5 e 2 × 3 + 1 = 7. O valor inicial é um.

Proporcionalidade direta. Em y = 3x, a taxa é três e o gráfico passa pela origem. Alguns pares são (1, 3), (2, 6) e (3, 9), confirmados por 3 × 1 = 3, 3 × 2 = 6 e 3 × 3 = 9.

Variação inversa em um contexto simples. Se doze objetos iguais são distribuídos igualmente entre grupos, a quantidade por grupo diminui quando a quantidade de grupos aumenta. Os pares podem ser (1, 12), (2, 6) e (3, 4), pois 12 ÷ 1 = 12, 12 ÷ 2 = 6 e 12 ÷ 3 = 4. Esses pontos não formam uma reta de proporcionalidade direta.

As três relações mostram por que não basta dizer que duas grandezas “variam”. Precisamos identificar como elas se relacionam.

Casos resolvidos

Caso 1 — testar um ponto. O ponto (4, 6) pertence a x + y = 10 porque 4 + 6 = 10. Ele também pertence a y = x + 2 porque 6 - 4 = 2. Logo, resolve o sistema.

Caso 2 — ponto que serve em uma equação apenas. O ponto (4, 4) pertence a x + y = 8, pois 4 + 4 = 8. Ele não pertence a y = x + 2, pois 4 - 4 = 0, e não dois. Um sistema exige as duas condições.

Caso 3 — interpretar a taxa. Em y = 2x + 1, passar de x = 4 para x = 5 aumenta y de nove para onze: 2 × 4 + 1 = 9 e 2 × 5 + 1 = 11. A variação de y é duas unidades.

Caso 4 — outro sistema por leitura. Se x + y = 12 e y = x + 2, o par (5, 7) satisfaz as duas, pois 5 + 7 = 12 e 7 - 5 = 2.

Exemplo

Para representar y = x + 2, não escolha o valor de y livremente. Escolha x, aplique a regra e registre o par na ordem (x, y). Vários pares corretos formam a reta.

Para resolver um sistema pelo gráfico, localize o ponto comum. Depois, leia suas coordenadas e confira-as nas duas equações. A conferência algébrica evita um erro causado por uma leitura imprecisa da escala.

Quando duas retas se cruzam uma vez, existe um par comum. Retas paralelas distintas não têm ponto comum. Retas coincidentes compartilham todos os pontos. Nesta lição, os exercícios usam sistemas com uma solução.

Erro comum

• Trocar a ordem das coordenadas. Registre sempre (x, y).
• Desenhar a reta com um único ponto. Use vários pontos corretos e uma escala clara.
• Aceitar um ponto que serve em uma equação. A solução precisa servir nas duas.
• Confundir taxa com valor inicial. Em y = 2x + 1, dois é a taxa e um é o valor quando x vale zero.
• Concluir somente pelo desenho. Substitua o par nas equações.

Guia de representação

Como estudar este tema

Use papel quadriculado e marque a escala dos dois eixos. Faça uma tabela antes do gráfico. Ao encontrar uma interseção, registre a conferência algébrica ao lado.

Exercícios com respostas explicadas