Como usar congruência, mediatriz e bissetriz

Resposta direta

Triângulos congruentes têm lados e ângulos correspondentes iguais. A mediatriz reúne pontos à mesma distância das extremidades de um segmento. A bissetriz reúne pontos à mesma distância dos lados de um ângulo.

Essas ideias permitem provar medidas e construir posições exatas sem depender apenas da aparência do desenho.

Entenda passo a passo

Congruência de triângulos

Para afirmar que dois triângulos são congruentes, não é necessário medir todos os seis elementos. Alguns conjuntos de dados já determinam o triângulo:

• LLL: os três lados correspondentes são iguais;
• LAL: dois lados e o ângulo entre eles são iguais;
• ALA: dois ângulos e o lado entre eles são iguais.

A correspondência precisa estar correta. Se o vértice A corresponde a D, B a E e C a F, escrevemos a ordem de modo consistente. Assim, o lado AB corresponde a DE, e o ângulo B corresponde ao ângulo E.

Três ângulos iguais não garantem congruência. Eles garantem a mesma forma, mas um triângulo pode ser uma ampliação do outro.

Mediatriz

A mediatriz de um segmento é a reta perpendicular ao segmento que passa pelo seu ponto médio. Ela reúne todos os pontos equidistantes das extremidades.

Para construir a mediatriz de AB:

1. abra o compasso com uma medida maior que a metade de AB;
2. faça arcos acima e abaixo com centro em A;
3. sem mudar a abertura, repita com centro em B;
4. trace a reta pelas duas interseções dos arcos.

Se AB mede 12 centímetros, o ponto médio fica a 6 centímetros de A e de B. Porém, os outros pontos da mediatriz também ficam à mesma distância de A e B, embora essa distância não seja 6.

Bissetriz

A bissetriz de um ângulo é a semirreta que parte do vértice e divide o ângulo em duas partes iguais. Seus pontos internos ficam à mesma distância perpendicular dos dois lados do ângulo.

Para construir uma bissetriz:

1. faça um arco com centro no vértice e marque onde ele corta os dois lados;
2. usando a mesma abertura, faça dois arcos com centros nesses pontos;
3. marque a interseção interna;
4. trace a semirreta do vértice até essa interseção.

Se o ângulo mede 70°, a bissetriz forma dois ângulos de 35°, pois 70 ÷ 2 = 35.

Exemplo

Casos resolvidos

Caso 1 — LLL. Dois triângulos têm lados de 5, 7 e 8 centímetros. Os lados correspondentes são iguais, então o caso LLL garante congruência. O perímetro de cada um é 20 centímetros.

Caso 2 — ângulos insuficientes. Dois triângulos têm ângulos de 50°, 60° e 70°. Um pode ter lados duas vezes maiores que o outro. Os ângulos iguais mostram semelhança, não congruência.

Caso 3 — ponto na mediatriz. O ponto P pertence à mediatriz de AB. Se PA mede 9 centímetros, então PB também mede 9 centímetros. Essa igualdade vem do lugar geométrico, não da posição visual.

Caso 4 — descubra um local. Duas escolas A e B devem ficar à mesma distância de um ponto de encontro P. Todos os locais possíveis para P estão na mediatriz do segmento AB. Uma condição adicional pode selecionar um único ponto.

Caso 5 — use a bissetriz. Um ponto Q está na bissetriz de um ângulo. A distância perpendicular de Q a um lado mede 4 centímetros. A distância perpendicular até o outro lado também mede 4 centímetros.

Caso 6 — combine construções. As mediatrizes de dois lados de um triângulo se encontram em um ponto equidistante dos três vértices. Isso acontece porque o ponto pertence a duas mediatrizes e, portanto, tem distâncias iguais encadeadas.

Erro comum

Erros comuns

• Confiar no desenho. Uma figura fora de escala pode parecer congruente sem ser.
• Usar lados e ângulos que não correspondem. Marque a ordem dos vértices.
• Aceitar AAA como congruência. Os tamanhos ainda podem ser diferentes.
• Chamar qualquer perpendicular de mediatriz. Ela também precisa passar pelo ponto médio.
• Medir a distância até um lado do ângulo em direção inclinada. A distância até uma reta é perpendicular.
• Mudar a abertura do compasso entre arcos correspondentes. Isso elimina a igualdade usada na construção.

Guia de decisão

Como estudar este tema

Faça as duas construções com régua sem marcação e compasso. Mantenha as marcas dos arcos, pois elas mostram por que a reta ou a semirreta foi localizada.

Em exercícios de congruência, escreva primeiro a correspondência dos vértices. Depois, indique o caso e somente então conclua as igualdades restantes.

Exercícios com respostas explicadas