Como reconhecer planificações e figuras congruentes

Resposta direta

Uma planificação é um conjunto de faces planas ligadas que pode ser dobrado para formar um sólido. Duas figuras são congruentes quando têm a mesma forma e o mesmo tamanho, mesmo que uma esteja girada, deslocada ou refletida.

Contar as faces é importante, mas não basta. Também é preciso imaginar quais lados se encontram quando a planificação fecha.

Entenda passo a passo

Como analisar uma planificação

Imagine que você abre uma caixa sem separar todas as faces. As faces ficam deitadas em uma folha, unidas por algumas arestas. Esse desenho é uma planificação.

Para analisar uma planificação:

1. identifique o sólido esperado;
2. conte quantas faces ele precisa;
3. confira a forma de cada face;
4. escolha uma face para ser a base;
5. imagine as faces vizinhas dobrando pelas arestas;
6. verifique se duas faces tentariam ocupar o mesmo lugar ou se faltaria fechar uma parte.

Um cubo precisa de seis faces quadradas. No desenho, há uma coluna com três quadrados e uma faixa com quatro. O quadrado central pertence aos dois grupos, por isso o total não é sete. Podemos contar como um acima, quatro na faixa e um abaixo: 1 + 4 + 1 = 6.

Nem todo arranjo de seis quadrados fecha um cubo. Se quatro faces dobrarem para o mesmo espaço, haverá sobreposição. Uma verificação prática com papel ajuda, mas o raciocínio deve indicar quais arestas serão unidas.

Como reconhecer congruência

Figuras congruentes têm comprimentos correspondentes iguais e ângulos correspondentes iguais. Você pode mover uma figura sem esticar nem encolher:

• a translação desliza a figura;
• a rotação gira a figura;
• a reflexão produz uma imagem espelhada.

Esses movimentos preservam forma e tamanho. Uma ampliação não preserva o tamanho, por isso normalmente produz uma figura semelhante, mas não congruente.

Para comparar dois triângulos desenhados em uma malha, você pode conferir os três lados correspondentes. Se um tem lados de 3, 4 e 5 unidades e o outro também, eles têm as mesmas medidas, ainda que estejam virados para lados diferentes.

Exemplo

Casos resolvidos

Caso 1 — planificação possível. Uma faixa tem quatro quadrados. Há mais um quadrado acima e outro abaixo do segundo quadrado da faixa. Ao dobrar, a faixa forma as quatro faces laterais, e os dois quadrados restantes fecham lados opostos. Nenhuma face precisa atravessar outra.

Caso 2 — planificação impossível. Seis quadrados aparecem em uma única faixa reta. Ao tentar fechar um cubo, a faixa pode envolver quatro lados, mas as duas faces restantes não ficam em posições adequadas para fechar as extremidades. Contar seis não foi suficiente.

Caso 3 — triângulos em posições diferentes. O primeiro triângulo tem lados de 3, 4 e 5 centímetros. O segundo mostra as mesmas medidas, mas está girado. Eles são congruentes porque o giro não altera os comprimentos.

Caso 4 — mesma forma, tamanho diferente. Um quadrado tem lado de 2 centímetros. Outro tem lado de 4 centímetros. Os dois são quadrados, mas não são congruentes. O segundo precisa de uma ampliação de fator 2 em relação ao primeiro.

Caso 5 — recorte e contorno. Duas figuras podem ocupar a mesma área e não ser congruentes. Um retângulo de 2 por 6 unidades e outro de 3 por 4 unidades têm área 12, mas lados diferentes. A mesma área não garante a mesma forma.

Erro comum

Erros comuns

• Conferir apenas o número de faces. A posição das faces também precisa permitir o fechamento.
• Achar que toda cruz de quadrados forma um cubo. Imagine cada dobra e procure sobreposições.
• Rejeitar figuras porque uma está girada. A orientação pode mudar sem alterar a congruência.
• Aceitar figuras com a mesma área. Área igual não garante lados e ângulos correspondentes iguais.
• Confundir semelhança com congruência. Uma cópia ampliada tem a mesma forma, mas não o mesmo tamanho.
• Comparar lados que não correspondem. Marque vértices ou cores para acompanhar a ordem correta.

Guia de decisão

Como estudar este tema

Faça uma planificação em papel quadriculado. Numere as seis faces antes de recortar. Ao montar, anote quais números ficam em faces opostas.

Para estudar congruência, copie uma figura em papel transparente. Tente encaixar a cópia por deslizamento, giro ou reflexão, sem esticar o papel.

Exercícios com respostas explicadas