Como usar transformações e construir triângulos

Resposta direta

Translação, rotação e reflexão movem uma figura sem alterar seus comprimentos e ângulos. Para construir um triângulo com três lados dados, trace um lado e use arcos de compasso para localizar o terceiro vértice.

A construção só funciona quando as medidas podem formar um triângulo. A soma de dois lados precisa ser maior que o terceiro lado.

Entenda passo a passo

Transformações que preservam medidas

Uma translação move todos os pontos pela mesma distância e na mesma direção. Uma rotação gira a figura ao redor de um centro por um ângulo definido. Uma reflexão espelha a figura em relação a uma reta.

As três são isometrias: preservam distâncias e ângulos. Por isso, a imagem é congruente à figura original. A orientação se mantém na translação e na rotação, mas se inverte na reflexão.

Para descrever bem uma transformação, dê os elementos necessários:

• translação: direção, sentido e distância;
• rotação: centro, ângulo e sentido do giro;
• reflexão: linha de reflexão.

Dizer apenas “a figura mudou de lugar” não identifica qual transformação ocorreu.

Construção com três lados

Suponha que os lados devam medir 4, 5 e 6 centímetros.

1. trace um segmento AB de 6 centímetros;
2. abra o compasso em 4 centímetros e faça um arco com centro em A;
3. abra o compasso em 5 centímetros e faça outro arco com centro em B;
4. marque uma interseção dos arcos como C;
5. ligue A a C e B a C;
6. confira as três medidas.

Os arcos podem se encontrar acima e abaixo de AB. Isso produz dois triângulos refletidos em relação à reta AB. Eles são congruentes.

Antes da construção, faça o teste de existência. Para 4, 5 e 6, temos 4 + 5 maior que 6, 4 + 6 maior que 5 e 5 + 6 maior que 4. Basta conferir com atenção o maior lado: a soma dos dois menores deve superá-lo.

Se os lados fossem 3, 4 e 7, a soma 3 + 4 seria igual a 7. Os arcos apenas se tocariam sobre a base, produzindo uma figura achatada, não um triângulo.

Ângulos e polígonos regulares

Os ângulos internos de um triângulo somam 180°. Se dois ângulos medem 65° e 45°, o terceiro mede 180° − 65° − 45° = 70°.

Em um polígono regular, lados e ângulos internos são iguais. Os ângulos centrais completam uma volta de 360°. Em um hexágono regular, cada ângulo central mede 360° ÷ 6 = 60°. Essa relação ajuda a construir vértices ao redor de um centro.

Exemplo

Casos resolvidos

Caso 1 — identifique uma translação. Um triângulo se move quatro unidades para a direita. Cada vértice faz o mesmo deslocamento. Não há giro nem inversão, então a transformação é uma translação.

Caso 2 — identifique uma rotação. Uma figura gira 90° em torno de um ponto O. As distâncias de cada vértice até O permanecem iguais. O centro O e o ângulo distinguem a rotação.

Caso 3 — duas construções. Ao construir um triângulo de lados 4, 5 e 6, os arcos se cruzam em dois pontos, um de cada lado da base. As duas escolhas produzem triângulos congruentes por reflexão.

Caso 4 — rejeite medidas impossíveis. Para lados 2, 4 e 7, os dois menores somam 6. Como 6 é menor que 7, os arcos não se encontram. Não existe triângulo com essas medidas.

Caso 5 — calcule o ângulo que falta. Um triângulo tem ângulos de 50° e 80°. O terceiro mede 50°, pois 180 − 50 − 80 = 50. O triângulo é isósceles porque dois ângulos iguais ficam opostos a lados iguais.

Erro comum

Erros comuns

• Mover cada vértice por uma distância diferente. Isso deforma a figura e deixa de ser translação.
• Girar sem indicar o centro. O resultado depende do ponto em torno do qual ocorre o giro.
• Confundir reflexão com rotação. A reflexão inverte a orientação; a rotação não.
• Começar a construção sem testar as medidas. Arcos que não se cruzam indicam lados impossíveis.
• Alterar a abertura do compasso durante um arco. Isso muda o raio e perde a medida.
• Aceitar a soma igual ao maior lado. Essa igualdade produz uma figura achatada, não um triângulo.

Guia de decisão

Como estudar este tema

Desenhe uma figura em papel quadriculado e faça uma translação, uma rotação e uma reflexão. Marque os pontos correspondentes e compare as distâncias.

Depois, construa triângulos com três conjuntos de medidas. Inclua um conjunto impossível. Registre o teste de existência antes de usar o compasso.

Exercícios com respostas explicadas