Como relacionar área, volume e circunferência

Resposta direta

Área mede uma superfície e usa unidades quadradas. Volume mede o espaço ocupado ou disponível em três dimensões e usa unidades cúbicas. Comprimento da circunferência mede a volta de um círculo e usa unidades lineares.

As três grandezas podem aparecer no mesmo objeto. Uma lata tem bases circulares com área, ocupa um volume e possui uma circunferência ao redor de cada base. Antes de usar uma fórmula, identifique qual medida a pergunta solicita.

Entenda passo a passo

Uma, duas e três dimensões

Uma medida linear acompanha um caminho: cm, m ou km. Uma medida de área cobre uma superfície: cm² ou m². Uma medida de volume preenche um espaço: cm³ ou m³.

Os expoentes registram quantas direções independentes entram no produto. Um retângulo usa comprimento e largura. Um bloco retangular usa comprimento, largura e altura. A circunferência continua sendo uma linha curva fechada, por isso seu comprimento não usa unidade quadrada.

Área por decomposição

Uma figura composta pode ser dividida em formas conhecidas. Também podemos completar um retângulo maior e retirar a parte ausente.

Considere uma figura em L que cabe em um retângulo de 8 cm por 6 cm. Falta um retângulo de 3 cm por 2 cm. A área maior é 8 × 6 = 48 cm². A parte retirada tem 3 × 2 = 6 cm². Logo, a área da figura em L é 48 − 6 = 42 cm².

A decomposição deve cobrir toda a figura sem sobreposição. Se duas partes se sobrepõem, uma região entra duas vezes na soma.

Volume de blocos retangulares

Imagine camadas de cubos unitários. Uma base de 5 por 4 contém 20 cubos em cada camada. Com 3 camadas, há 5 × 4 × 3 = 60 cubos unitários. Se cada aresta do cubo mede 1 cm, o volume é 60 cm³.

A relação é volume = comprimento × largura × altura. Use medidas na mesma unidade antes de multiplicar. Se uma dimensão está em metros e outra em centímetros, faça primeiro a conversão.

Comprimento da circunferência

O número π representa a razão constante entre o comprimento de uma circunferência e seu diâmetro. Nesta lição, usamos π ≈ 3,14 para estimativas numéricas.

Use uma destas formas equivalentes:

• C = π × d, quando o diâmetro é conhecido;
• C = 2 × π × r, quando o raio é conhecido.

O diâmetro é duas vezes o raio. Para um círculo de raio 5 cm, o diâmetro é 10 cm. Com π ≈ 3,14, o comprimento é aproximadamente 31,4 cm pelos dois métodos.

Exemplo

Exemplos resolvidos

Exemplo 1 — área composta. No retângulo de 8 cm por 6 cm, retire a região de 3 cm por 2 cm. A conta 48 − 6 resulta em 42 cm². Faça um desenho e marque a região retirada para não somá-la.

Exemplo 2 — volume. Uma caixa retangular tem dimensões internas de 5 cm, 4 cm e 3 cm. Multiplicamos as três medidas e obtemos 60 cm³. O resultado descreve o espaço interno do modelo.

Exemplo 3 — circunferência pelo diâmetro. Uma tampa circular tem diâmetro de 10 cm. Multiplicamos 3,14 por 10 e obtemos aproximadamente 31,4 cm para a volta.

Exemplo 4 — estimativa de conferência. Como π é um pouco maior que 3, uma circunferência deve medir um pouco mais que três vezes o diâmetro. Para diâmetro de 10 cm, um resultado próximo de 31 cm é razoável. Um resultado de 3,1 cm não é.

Relacione a pergunta à unidade

A palavra “cobrir” costuma indicar área. A palavra “encher” costuma indicar volume ou capacidade. A palavra “dar a volta” indica perímetro ou circunferência. A unidade prevista ajuda a escolher o cálculo correto.

Erro comum

Erros comuns

• Usar unidade linear para área. Uma superfície precisa de unidades quadradas.
• Usar unidade quadrada para volume. Um espaço tridimensional precisa de unidades cúbicas.
• Somar as dimensões do bloco. A soma pode descrever parte das arestas, mas não o volume.
• Somar áreas com sobreposição. Divida a figura em partes que não ocupem a mesma região.
• Confundir raio e diâmetro. O diâmetro vale duas vezes o raio.
• Calcular π × raio como comprimento da circunferência. Use 2 × π × raio, ou π × diâmetro.
• Tratar 3,14 como valor exato de π. O resultado numérico é aproximado quando usamos essa aproximação.

Guia de decisão

Como estudar este tema

Monte uma tabela com três colunas: grandeza, cálculo e unidade. Resolva um caso de cada tipo e explique por que a unidade muda. Em figuras compostas, pinte cada parte usada. Em blocos, desenhe uma camada de cubos. Em círculos, marque claramente o centro, o raio e o diâmetro.

Exercícios com respostas explicadas