Como relacionar notação científica, potências e raízes

Resposta direta

Uma potência resume uma multiplicação de fatores iguais. Uma raiz desfaz a potência correspondente. A notação científica usa uma potência de 10 para escrever números muito grandes ou muito pequenos na forma a × 10ⁿ, com 1 ≤ a < 10.

Por exemplo, 10⁴ = 10.000 porque há quatro fatores iguais a 10. Como 9² = 81, a raiz quadrada principal de 81 é 9. O número 4.200.000 pode ser escrito como 4,2 × 10⁶.

Antes desta lição, revise números inteiros e operações. Os expoentes da notação científica podem ser positivos, zero ou negativos.

Entenda passo a passo

Potências

Na potência 3⁴, o 3 é a base e o 4 é o expoente. A escrita representa quatro fatores iguais a 3:

3⁴ = 3 × 3 × 3 × 3 = 81

O expoente conta fatores, não o tamanho de uma multiplicação direta. Por isso, 3⁴ não é 3 × 4.

Algumas potências recebem nomes:

• 7² é “sete ao quadrado”;
• 4³ é “quatro ao cubo”;
• expoentes maiores podem ser lidos como “elevado a”.

Potências de 10 ajudam a organizar posições decimais:

• 10¹ = 10;
• 10² = 100;
• 10³ = 1.000;
• 10⁴ = 10.000.

Cada aumento de uma unidade no expoente multiplica o valor por 10.

Raízes como operações inversas

A raiz quadrada principal de um número não negativo procura o número não negativo que, multiplicado por ele mesmo, produz o radicando.

√81 = 9, pois 9 × 9 = 81.

A equação x² = 81 tem duas soluções reais, 9 e −9, porque os dois quadrados são 81. Porém, o símbolo √81 indica somente a raiz quadrada principal, que é 9.

A raiz cúbica procura três fatores iguais. ∛64 = 4, pois 4 × 4 × 4 = 64.

Nem toda raiz quadrada é um número inteiro. Como 5² = 25 e 6² = 36, sabemos que √30 fica entre 5 e 6. Essa estimativa localiza a raiz sem fingir que ela é exata.

Notação científica

Uma escrita em notação científica tem um coeficiente e uma potência de 10:

a × 10ⁿ

O coeficiente a deve ser maior ou igual a 1 e menor que 10. O expoente inteiro n indica a escala.

Para escrever 4.200.000:

1. coloque a vírgula após o primeiro algarismo não nulo: 4,2;
2. conte seis posições entre 4,2 e 4.200.000;
3. use expoente positivo 6;
4. resultado: 4,2 × 10⁶.

Para escrever 0,0056:

1. forme o coeficiente 5,6;
2. para voltar a 0,0056, dividimos por 1.000;
3. use 10⁻³;
4. resultado: 5,6 × 10⁻³.

Um expoente negativo não torna o coeficiente negativo. Ele indica uma potência de 10 menor que 1.

Cálculos e estimativas

Ao multiplicar potências de mesma base, podemos somar expoentes. A justificativa vem da contagem dos fatores:

10² × 10³ = (10 × 10) × (10 × 10 × 10) = 10⁵

Na notação científica, multiplique os coeficientes e combine as potências de 10. Depois, ajuste o coeficiente para o intervalo correto.

Exemplo: (3 × 10⁴) × (2 × 10²) = 6 × 10⁶.

Se o coeficiente provisório fosse 12, precisaríamos reescrever 12 × 10⁶ como 1,2 × 10⁷.

A ordem de grandeza permite uma conferência. O produto de um número perto de 10³ por outro perto de 10² deve ficar perto de 10⁵. Um resultado perto de 10¹ indicaria um erro de escala.

Dízimas e potências

Uma dízima periódica é uma representação decimal infinita com repetição. Ela é um número racional e pode ser escrita como fração. Esse tema não deve ser confundido com notação científica: a notação científica muda a forma de escrever a escala, não transforma uma dízima em decimal exato.

Exemplo

Exemplos resolvidos

Exemplo 1 — desenvolva uma potência. 4³ = 4 × 4 × 4 = 64.

Exemplo 2 — encontre uma raiz. √144 = 12, pois 12 × 12 = 144.

Exemplo 3 — escreva um número grande. 3.700 pode ser escrito como 3,7 × 10³.

Exemplo 4 — escreva um número pequeno. 0,00082 pode ser escrito como 8,2 × 10⁻⁴. O coeficiente está entre 1 e 10.

Erro comum

Erros comuns

• Multiplicar base por expoente. 2⁵ representa cinco fatores iguais a 2.
• Dizer que √81 é ±9. O símbolo da raiz principal representa 9; a equação x² = 81 tem duas soluções.
• Usar coeficiente 42. Em notação científica, ajuste para 4,2 × 10ⁿ e mude o expoente.
• Trocar o sinal do coeficiente por causa do expoente negativo. O expoente controla a potência de 10.
• Mover a vírgula sem contar posições. Escreva a potência de 10 e faça uma conferência de escala.

Guia de decisão

Como estudar este tema

Escreva potências como produtos e faça o caminho inverso com raízes exatas. Depois, converta números comuns para notação científica e multiplique de volta para conferir a escala.

Exercícios com respostas explicadas