Como trabalhar com números reais e percentuais sucessivos

Resposta direta

Os números reais ocupam todos os pontos da reta numérica e incluem números racionais e irracionais. Em percentuais sucessivos, aplique cada mudança ao valor obtido na etapa anterior. Não some as taxas como se todas usassem o valor inicial.

Um aumento de 20% seguido de uma redução de 20% não volta ao valor inicial. Começando com 100, o aumento produz 120. A redução seguinte é 20% de 120, isto é, 24. O resultado final é 96.

Antes desta lição, revise notação científica, potências e raízes.

Entenda passo a passo

Racionais e irracionais

Um número racional pode ser escrito como uma fração de inteiros com denominador diferente de zero. Inteiros, frações, decimais exatos e dízimas periódicas são racionais.

Exemplos:

• 5 é racional, pois pode ser escrito como $\frac{5}{1}$ ;
• 0,75 é racional, pois equivale a $\frac{3}{4}$ ;
• 0,333… é racional, pois equivale a $\frac{1}{3}$ .

Um número irracional não pode ser escrito como uma fração de inteiros. Sua representação decimal é infinita e não periódica. Exemplos incluem √2 e π.

Nem toda raiz é irracional. √196 = 14, então essa raiz é um número inteiro e racional. Já √2 não é raiz exata de um quadrado inteiro.

A reta dos números reais

Todo número real corresponde a um ponto na reta. Os racionais e os irracionais aparecem misturados. Entre dois números reais diferentes há outros números reais.

Para localizar √2, compare quadrados conhecidos. Como 1² = 1 e 2² = 4, √2 fica entre 1 e 2. Uma aproximação é 1,414. A aproximação ajuda a marcar o ponto, mas não substitui a escrita exata √2 quando a questão pede um valor exato.

Para localizar √210, observe que 14² = 196 e 15² = 225. Portanto, √210 fica entre 14 e 15.

Na comparação, use aproximações com precisão suficiente. Se dois valores estiverem muito próximos, poucas casas decimais podem produzir um empate aparente.

Fatores percentuais

Uma mudança percentual pode ser representada por um fator multiplicativo.

Para aumentar 20%, mantenha 100% e acrescente 20%:

100% + 20% = 120%

O fator é 1,20, que equivale a $\frac{6}{5}$ .

Para reduzir 20%, mantenha 80%:

100% − 20% = 80%

O fator é 0,80, que equivale a $\frac{4}{5}$ .

Outros exemplos:

• aumento de 10%: fator 1,10;
• redução de 10%: fator 0,90;
• aumento de 5%: fator 1,05;
• redução de 35%: fator 0,65.

O fator descreve a parte que permanece após a mudança, não somente a taxa que foi acrescentada ou retirada.

Mudanças sucessivas

Aplique os fatores na ordem indicada. Para um aumento de 20% e uma redução de 20% sobre 100:

1. 100 × 1,20 = 120;
2. 120 × 0,80 = 96.

O fator combinado é 1,20 × 0,80 = 0,96. Assim, o resultado final corresponde a 96% do valor inicial, uma redução total de 4%.

A ordem das multiplicações não muda o produto quando apenas aplicamos fatores ao mesmo valor. Porém, a interpretação de cada etapa continua importante.

Duas altas de 10% também não equivalem a uma alta de 20%. Em 200:

1. primeira alta: 200 × 1,10 = 220;
2. segunda alta: 220 × 1,10 = 242.

O aumento total é 42, que corresponde a 21% de 200.

Para uma redução de 10% seguida de 20% sobre 500:

1. 500 × 0,90 = 450;
2. 450 × 0,80 = 360.

A redução total é 140. Como 140 é 28% de 500, as duas taxas produziram redução total de 28%, não 30%.

Valor inicial e valor final

Quando conhecemos o valor final e o fator, podemos dividir para recuperar o valor anterior.

Se um valor aumentou 25% e chegou a 250, o fator foi 1,25. O valor inicial é 250 ÷ 1,25 = 200.

Não retire 25% do valor final. Os 25% foram calculados sobre o valor inicial, que ainda era desconhecido.

Exemplo

Exemplos resolvidos

Exemplo 1 — classifique. O número −7 é inteiro e racional, pois pode ser escrito como $\frac{\mathrm{-7}}{1}$ .

Exemplo 2 — reconheça um irracional. √3 é irracional porque 3 não é um quadrado perfeito e sua raiz não pode ser escrita como razão de inteiros.

Exemplo 3 — duas altas. Um valor de 300 recebe duas altas de 10%. Primeiro vai para 330. Depois vai para 363. O aumento total é 63, ou 21%.

Exemplo 4 — alta e queda. Um valor de 400 aumenta 25% e depois cai 20%. Os fatores são 1,25 e 0,80. O produto dos fatores é 1, então o valor final volta a 400. As taxas são diferentes, mas os fatores são inversos neste caso.

Erro comum

Erros comuns

• Dizer que todo decimal infinito é irracional. Uma dízima periódica é racional.
• Dizer que toda raiz é irracional. Raízes exatas, como √196, podem ser inteiras.
• Tratar uma aproximação como igualdade exata. Escreva √2 ≈ 1,414, não √2 = 1,414.
• Somar taxas sucessivas automaticamente. Cada taxa usa o valor da sua etapa.
• Retirar 20 pontos após aumentar 20%. Porcentagem é uma proporção, não uma quantidade fixa.
• Aplicar a taxa ao valor inicial em todas as etapas. Atualize a base após cada mudança.

Guia de decisão

Como estudar este tema

Classifique números com uma justificativa, não somente pelo formato. Para porcentagens, escreva cada fator sobre uma seta entre valores. Depois, multiplique os fatores para conferir o efeito total.

Exercícios com respostas explicadas