Como identificar números primos, múltiplos e divisores

Resposta direta

Um múltiplo aparece ao multiplicar um número natural por outro. Um divisor divide um número sem deixar resto. Um número primo maior que 1 tem exatamente dois divisores positivos: 1 e ele mesmo. Um número composto maior que 1 tem mais de dois divisores positivos.

Por exemplo, 12 é múltiplo de 3 porque 3 × 4 = 12. O 3 é divisor de 12 porque 12 ÷ 3 = 4, sem resto. O 13 é primo porque seus únicos divisores positivos são 1 e 13.

Antes desta lição, revise a tabuada com grupos e desenhos. Os fatos de multiplicação ajudam a encontrar pares de fatores.

Entenda passo a passo

Múltiplos

Os múltiplos de 5 são os resultados de 5 × 0, 5 × 1, 5 × 2 e assim por diante:

0, 5, 10, 15, 20, 25, 30, ...

A lista não termina. O zero é múltiplo de todo número natural, pois qualquer número multiplicado por zero resulta em zero.

Para decidir se 35 é múltiplo de 7, procure um número natural que complete 7 × ? = 35. Como 7 × 5 = 35, a resposta é sim.

Divisores e pares de fatores

Um divisor positivo de 12 forma uma divisão exata. Os pares de fatores de 12 são:

• 1 × 12;
• 2 × 6;
• 3 × 4.

Logo, os divisores positivos de 12 são 1, 2, 3, 4, 6 e 12.

Os termos estão relacionados. Se 6 é divisor de 42, então 42 é múltiplo de 6. A conta 42 ÷ 6 = 7 confirma a relação.

Primos e compostos

Um número primo precisa ser maior que 1 e ter exatamente dois divisores positivos.

• 2 é primo: divisores 1 e 2;
• 3 é primo: divisores 1 e 3;
• 5 é primo: divisores 1 e 5;
• 7 é primo: divisores 1 e 7.

O número 2 é o único primo par. Todo número par maior que 2 também é divisível por 2 e, por isso, tem pelo menos três divisores: 1, 2 e ele mesmo.

Um número composto maior que 1 tem um par de fatores além de 1 e dele mesmo. O 15 é composto porque 3 × 5 = 15.

O número 1 não é primo nem composto. Ele tem apenas um divisor positivo, que é o próprio 1. Essa exceção é importante.

Como testar um número

Para testar se 29 é primo, não é necessário dividir por todos os números menores que 29. Procure pares de fatores em ordem:

1. 29 não é par, então 2 não divide 29;
2. a soma dos algarismos é 11, então 3 não divide 29;
3. o último algarismo não é 0 nem 5, então 5 não divide 29;
4. o próximo divisor possível seria maior que a raiz quadrada de 29 e repetiria um par já testado.

Assim, 29 é primo. Para esta etapa escolar, você também pode organizar tentativas de divisão e parar quando os pares começarem a se repetir.

Alguns critérios úteis:

• divisível por 2: termina em 0, 2, 4, 6 ou 8;
• divisível por 3: a soma dos algarismos é múltipla de 3;
• divisível por 5: termina em 0 ou 5;
• divisível por 10: termina em 0.

Esses critérios encontram divisores específicos. Eles não substituem todos os testes quando nenhum critério se aplica.

Múltiplos comuns e divisores comuns

Um número pode ser múltiplo de mais de um valor. O 30 é múltiplo de 2, 3, 5, 6, 10 e 15. Isso aparece nos pares 2 × 15, 3 × 10 e 5 × 6.

Dois números também podem ter divisores comuns. Os divisores de 12 e 18 incluem 1, 2, 3 e 6 em suas listas. Essa ideia prepara o estudo de simplificação de frações e denominadores comuns.

Exemplo

Exemplos resolvidos

Exemplo 1 — encontre múltiplos. Os cinco primeiros múltiplos positivos de 6 são 6, 12, 18, 24 e 30.

Exemplo 2 — encontre divisores. Os pares de fatores de 18 são 1 × 18, 2 × 9 e 3 × 6. Portanto, os divisores positivos são 1, 2, 3, 6, 9 e 18.

Exemplo 3 — classifique 17. O número 17 não é divisível por 2, 3 ou 5. Seus únicos divisores positivos são 1 e 17. Ele é primo.

Exemplo 4 — classifique 21. Como 3 × 7 = 21, o número tem divisores além de 1 e 21. Ele é composto.

Erro comum

Erros comuns

• Confundir múltiplo com divisor. O 24 é múltiplo de 6, e o 6 é divisor de 24.
• Dizer que 1 é primo. Um primo tem exatamente dois divisores positivos; o 1 tem somente um.
• Dizer que todo número ímpar é primo. O 9 é ímpar e composto, pois 3 × 3 = 9.
• Esquecer pares de fatores. Organize as tentativas da menor para a maior.
• Parar após um teste que falhou. Não ser divisível por 2 não prova que um número é primo.

Guia de decisão

Como estudar este tema

Faça cartões de 2 a 30. Monte arranjos retangulares ou escreva pares de fatores. Classifique cada número e explique qual divisão ou multiplicação sustenta a decisão.

Exercícios com respostas explicadas